تعليمات للتلاميذ المبتدئين الذين يعانون من عدم القدرة على التعلم
تعليمات للتلاميذ المبتدئين الذين يعانون من عدم القدرة على التعلم Instruction for Elementary Students with Learning Disabilities
الفكرة بحث جديد فى منهج الرياضيات يطلب من المعلمين إعادة التفكير فى المعتقدات الراسخة فى الأذهان عن التدريس,التعلم والتقييم. وقد أكد هذا البحث بالأخص على الحاجة الى منهج لحل المسائل و مستوى أعلى للتفكير فى الرياضيات و مع هذه التوصيات , قدمت هذه المقالة وشرحت أربعة أفكار واعدة للمنهج الرياضى التى خرجت من بحث تضمن تلاميذ يعانون من عدم القدرة على التعلم.هذه الأفكار أ ) تقدم منهج رياضيات عريض المجال و متوازن ) ب ) العمل على شغل التلاميذ بمهام ومسائل قوية و هادفة ) ج ) محاولة التكيف مع الطرق المختلفة التى يتعلم بها التلامييذ ) د ) تشجيع التلاميذ على مناقشة وتبرير استراتيجيات حل المسائل والحلول نفسها )
اقترح طرق لأعادة التفكير فى التدريس وتعلم الرياضيات وارتباطهما بالتلاميذ الذين يعانون من عدم القدرة على التعلم أوصت بتغيرات ( NCTM: 1989,1991,1995 )أن المنهج ,التقييم ,ومعايير التدريس المهنى للمجلس القومى لمدرسي الرياضيات استراتيجية فى منهج الرياضيات لجميع التلاميذ .هذه التغيرات أساسا تتضمن حركة فى اتجاه مستوى أعلى من فهم الرياضيات وحل المسائل , وتتضمن كذلك إعادة النظر فى المعتقدات الراسخة عن التدريس و التعلم و المنهج التطبيقى .وبالرغم من ذلك إلا إن التطبيقات المعروفة فى فصول التعليم العام والخاص مازالت تعكس تأكيد ضيق المجال للحسابات.هذا التمركز ينعكس ايضا فى التدريس التشخيصى ولم تكن فقط هذه النظريات عن المنهج و التقييم غير متآلفة مع النظرة للمعايير (Heshusius, 1991) و أمانة التقييم Carpenter, Fennema, Peterson, ولكنها ايضا متناقضة مع نتائج البحث الاخير عن تدريس وتعلم الرياضيات مثل Chiang, & Loef, 1989; Englert,Tarrant, & Mariage, 1992; Resnick, 1987, 1989; Thornton & Bley, 1994 هذا و اقترح المجلس القومى لمدرسى الرياضيات 1989 خمسة أهداف لاعادة التفكير فى تدريس وتعلم الرياضيات لقد اقر المجلس ان على التلاميذ ( أ )تعلم تقييم الرياضيات ,( ب ) الثقة فى مقدرتهم على التعامل مع الرياضيات( ج ), ان يصبحوا معالجى مسائل رياضية ، (د ) تعلم كيفية التواصل الرياضي , (و) تعلم التفكير رياضيا وللوصول لهذه الأهداف , أوصى المجلس بأهمية ان يقلل المدرسين من الحسابات المعقدة باستخدام الورقة والقلم , الحفظ الأصم للقواعد و القوانين, التطبيق المكتوب ,"إجابة واحدة, طريقة واحدة," و التدريس بالسرد . هذه التوصيات لرياضيات المدارس قد تم جمعها فى نظرية ومأخوذة من قاعدة أبحاث ضخمة لتعليم الرياضيات Cobb & Bauersfeld, 1995; Noddings, 1990 استدلالية بناءة مثل ولكن هذا البحث ركز قليلا على منهج الرياضيات للتلاميذ ذوى عدم القدرة على التعلم (Grouws, 1992) وكذلك,ان الأبحاث القليلة التى تضمنت تلاميذ غير قادرون على التعلم ركزت على مستوى عالى من التعلم الرياضى و حل المسائل Parmar & Cawley this issue; Marshall, 1988; Mastropieri, Scruggs, & Shiah, 1991 الهدف الأعظم لهذه المقالة هو وصف أربعة أفكار أساسية مرتبطة لمستوى أعلى من التفكير و حل المسائل التى نتجت عن أبحاث قريبة تضم التلاميذ الغير قادرون على التعلم وهذه الأفكار كما يلى
* تقديم منهج رياضيات كبير و متزن
* شغل التلاميذ في حل مسائل غنية وهادفة
* التكيف مع الطرق المختلفة لتعلم التلاميذ
* تشجيع التلاميذ على مناقشة وتبرير استراتيجيات حل المسائل والحلول نفسها هذه الأفكار فى مضمونها تؤكد فلسفة استفادة التلاميذ الغير قادرون على التعلم من البرامج الغنية التى تتيح التحدى و تسمح بالتفكير الرياضى . كل من هذه الأفكار سيتم شرحه بأمثلة لحالات واقعية مأخوذة من واحد او اكثر من أربعة تقارير بحثية.و قبل هذا نقدم نظرة عامة للسياق فى الجزء التالى دراسات تتضمن التلاميذ الذ ين يعانون من عدم القدرة على التعليم الدراسة الاولى : فهم الاطفا ل للاعداد ذوى الأرقام المتـعددة تقدم اطار وصف و تنبأ بمستويات عديدة لتفكير الاطفال المرتبط بحس الاعداد متعددة Jones et al. 1996 هذه الدراسة التى اخرجها الارقام، هذا الإطار نفـسه استخـدم لينتـج و يقيم اصدارين مختلفيـن لبرنامج منهجى يؤكد على معنى العدد فى فصـول التعليـم العـام التـى تضمنت تلاميـذ يعـانون من عدم القدرة على التعلـم . لقـد اوضحت النظرية المنهجيـة التى ارتكزت على الإطار و المبنى على (e.g., Cobb & Bauersfeld, 1995) اسس اجتماعية ان فرص التلاميذ فى بناء معرفة رياضية تنشأ من حل وجهات نظر متضاربة فى جماعة , و من محاولة اعادة بناء و صياغة اسلوب الفكرة الرياضية او الحلول بطريقة اعم , من محاولات للوصول الى اتفاق مع الاخريـن الذان اقتراحا ان التلاميذ الغير قادرون يجب Englert et al. 1992 & Heshusius 1991 لقـد توافق البرنامج المنهجى مع توصيات ان يتم استثارة قدراتهم و تحدياتهم بمسائل هادفة تسمح بعدة حلول و استراتيجيـات. خلال الدراسة , تم تشجيع كل التلاميذ و منحهم الوقت للعمل بتعاون لحل المسائل بطرق مختلفة الامر الذى يسمح بمشاركة جميع التلاميذ و تبرير تفكيرهم بشتى الطرق. ظهور الاختلافات فى الفهم للتلاميذ فى هذان المجموعتان المنهجيتان يرجع الى نوعية تجارب حل المسائل و مستوى تفاعل التلاميـذ الدراسة الثانية : استخدام التحليلات الفكريةالمنعكسه على التطبيقـات المنهجيـة للمدرسيـن المستقبليين للمراحل الابتدائية استخدم نظرية الحالة الواقعية للتحقق من تاْثير Langrall, Thornton, Jones, and Malone (1996) هذا البحث المقدم من NCTM 1991- 1989الانعكاس على التطبيقات المنهجية فى الرياضيات للمدرسين المستقبلين للمراحل الابتدائية . التوصيات من معاير قدمت قاعدة لتفكير المدرسين فى التجارب المنهجية للفصول الابتدائية , ستة من المدرسين شاركوا فى مسلسل من 11 تجربة منهجية للفصول . فى اول و اخر جلسة ارشد المدرسين مجموعات صغيرة من التلاميذ تتضمن الاطفال الذين يعانون من عدم القدرة على التعلم . و بالنسبة للتحليل بالفيديو و النسخ لهذة الدروس فقد تم دعمهم ببيانات اخرى , تتضمن مقابلات شبة انشائية , ندوات استدعاء تحفيزى , مستندات مكتوبة مقدمة من قبل المدرسين , و مذكرات من باحثى المجال . مصادر البيانات هذه اصبحت البيئة المحيطة لستة حالات واقعية التى دونت التغيرات من قبل المدرسين . أدى هذا الاكتشاف إلى تغيرات قوية فى التطبيقات المنهجية لهؤلاء المدرسيـن المستقبليـين , متضمنة تغيرات فى طرق تواصلهم مع التلاميذ الذين يعانون من عدم القدرة على التعليـم التغيــرات الاساسيــة تضمنت ( أ ) استخدام اكبر للمهـام المبنية على المسائل و الاسئلة الحرة (ب )زيادة التوقعات لفهم التلاميذ و استراتيجيات الحلول المتعددة ( ج ) تأكيد اكبر على تحاور الطلاب وتعاونهم ( د )توجيهات اقل من المدرسين , و على الرغم من تركيز هذا البحث على المرسين المستقبليين الا ان البحث قد وجد أيضا صورة علمية موجزة وغنية لتفاعل التلاميذ مع بعضهم البعض و مع مدرسيهــم الدراسة الثالثة : مساندة تلاميذ المدارس المتوسطة ذوى عدم القدرة على التعليم فى فصول الرياضيات هو بدء برنامج شامل للتنمية المهنية الذى يشجع Borasi, Packman, Woodward (1991) الهــدف الرئيسى لهذا البحث الذى اعده و يساند مدرسين الرياضيات للمرحلة الاعدادية على اعادة التفكير فى اهدافهم مع الاهتمام اكثر بهؤلاء ذوى عدم القدرة على التعلـم هذا المشروع قدم فريق منظم داخليا يتضمن معلمبـن رياضيـات , خبير فى عدم القدرة على التعلم , و مدرسين رياضيات و تعليم خاص . فأطارة النظرى يتسم بنظرية بناءة عن المعرفة و التعلم , ومعلومات و نماذج للطلاب الذين يعانون من عدم الفدرة على الفهم , و نظرية الاستعلام لتدريس الرياضيات . فى قلب هذا المشروع يوجد ثلاث وحدات تهدف الى شرح نظرية الاستعلام المستخدمة فى فصول المدرسة الاعدادية و تتضمن تلاميذ يعانون من عدم القدرة على التعلم .و قد تم وضع دراسة شاملة عن الحالة الواقعية للتلاميذ الذين يعانون من عدم القدرة على التعلم خلال تطبيق هذة الوحدات فى اوضاع منهجية مختلفة مدرسة خاصة بااتلاميذ الذين يعانون من عدم القدرة , و مدرسة حكومية للتعليم العام فى المدينة و الضواحى . لقد اقترحت النتائج ان نظرية الاستعلام التى قد تم تكميلها بتعديلات و تكيفات منهجية مناسبة , ممكن ان تساعد مدرسى الرياضيات على الوصول الى التحديات المصاحبة لجماعات التلاميذ المختلفة بالاضافة , يمكن استغلال الفروق التعليمية بين التلاميذ و تحويلها الى اصل فى عملية التعليـــم الدراسة الرابعة : عمليات حل المسائل الرياضية لتلاميذ المرحلة الابتدائية معروفة بعدم القدرة على التعلم فحصت عمليات حل المسائل لخمسة تلاميذ من المرحلة الخامسة و الثالثة معروفين بعدم قدرتهم على التعلم Behrand, 1994 دراســة و حسب توصيات برامج التعليم المخصصة , يتسلم هؤلاء التلاميذ يوميا تعليمات رياضية فى غرفة خاصة بعدم القدرة على التعلم تقدم الاطارالعام لتقيم استغلالية الاطفال و القدرات المساعدة على حل المسائل Fennema & Carpenter, 1985 التعليمات الموجهة لقد تم تجميع البيانات عن لقاءات فردية و ندوات الجماعات الصغيرة . خلال هذه الندوات , تم تقديم مسائل كلامية للتلميذ , و منحهم الوقت لحلها , و تشجيعهم على مشاركة استراتيجياتهم فى مناقشة جماعية و أثبتت الدراسة ان التلاميذ عندما يمنحوا الفرص يصبحون قادرين على مشاركة استراتيجياتهم , و الاستماع لاستراتيجيات الاطفال الاخرين , و مناقشة التشابهات و الاختلافات بين هذة الاستراتيجيات , و تبرير تفكيرهم و مساعدة بعضهم البعض على فهم المسائل الكلامية . بالرغم من ان التلاميذ وجدوا فيما بينهم حلول خاصة بهم للمسائل الا انها رأت انها قليلا ما تحتاج النموذج المدرسى لاستراتيجيات الحل و عامة لا تسمح بحل افضل بين الاطفـال ان الخمسـة تلاميذ كلهم يستطيعون حل العديد من المسائل متضمنة جمع , ضرب و طرح , و قسمة صعبة جدا ,و مسائل ذات المعلومات الرقمية الخارجية , و المسائل ذات الخطوات المتعددة ان التلاميذ فى دراستها استطاعوا انتاج و استخدام استراتياجاتهم الخاصة فى حل المسائل و لم يحتاجوا تدريس Behrand, 1994 و وجدت استراتيجيات محددة . ارتكازا على هذة النتائج , تحققت من الحاجة الى منهج استراتيجى واضح فى الرياضيات للتلاميذ الغير قادرون على التعلم و اوضحت بنظريات منهجية تستخدم عمليات حل المسائل المتاحة للتلاميـذ شرح عملى للاربعة افكار اربعة توضيحات من الدراسات الموضحة باعلاه تمثل الافكار المقدمة فى هذة المقالة . بالرغم من امكانية بعض هذة الحالات من شرح اكثر من فكرة , الا ان المناقشة تحدد الملامح البارزة لكل فكرة بدورهــا تقديم نظرة شاملة للافكار عن منهج رياضيات عريض و متزن ان العديد من الاطفال الذين يعانون من صعوبات فى تعلم الرياضيات , متضمنين ايضا الذين يعانون Baroody & Hume (1991) لقد ذكـر بمنهج اعرض Trafton & Claus (1994) من عدم القدرة على التعلم يعتبرون منهجيا غير قادرون و بالنسبة لهؤلاء التلاميذ , أوصى اعرض و اكثر اتزانا , مضادا للمنهج التقليدى , بتاكيده المتكرر و الغير ضرورى على الحسابات , و هذا المنهج المقترح يبنى على استخدام المسائل و يتضمن تاكيد اكبر على معنى الاعداد و التقدير تحليل البيانات , المعنى الحيزى و التفكير الهندسى , الانماط و الافكار التى تؤدى و التوسع فى المنهج ليشمل العديد من مجالات الرياضيات لا يعوق ( NCTM 1989. ) الى الفهم الجبرى و الاستخدام المساند للتكنولوجيا و انما يشجع فعليا تنمية المهارات الرياضية المناسبة و قد قدم فى مضمونة فرص لنوعيات مختلفة من التفكير و نجاح اجتياز الفكر الرقمى . مثل هذا المنهج يجب ان ينعكس فى برامج التعليم المخصص للاطفــال بالرغم من ان برامج التعليم المخصص لا تتطلب التغاضى عن الحسابات , الا ان الثقة الكبيرة ساعدت التلاميذ الذين يعانون من عدم القدرة بالصحافة , Bley & Thornton, 1994; Borasi, على التعلم على استخدام الرياضيات بمرونة اكثر , و بأسلوب اكثر فراسة و انتاجية Englert et al., 1992 شرح للحالة لتمثيـل فكـرة " المنهج العريض المتوازن " هذا الجزء اخذ بيانات حالية من تلميذين لديهم عدم قدرة على التعلم واضحة . هذة التوضيحات و حلقة تدون تفكير تيريل عن مهمة (Jones et al. , 1996) تتضمن حلقة بها تلميذة سوف ندعوها جانا , تركز على العقلية الرياضية . (Langrall et al., 1996) الهندسة و تبعا مقياس ويسلر للذكاء للاطفال - 3 سجلت جانا ذو التسع سنوات مستوى اقل من المتوسط فىالتعبير الشفهى و امتحانات الرياضيات . لقد وضعت فى برنامج يحتوى على عدم القدرة على التعلم لانها ايضا لديها لغة متفتحة شديدة و صعوبات فى الذاكرة السمعية وبـالرغم من الصعوبات التى توجهها فى المسائل الكلامية , الا ان ذاكرتها المتعلقة بالرؤية و اهتمامها بالرياضيات ادا الى مشاركتها فى فصل الرياضيات اينما حدثت الحلقة التاليـة لقـد بدأ النشاط فى اللحظة التى دخلت فيها مسز تات الغرفة ,كل طفل يختار بطاقة تظهر كمية المال الذى يستطيعون صرفة . فالمهمة كانت " شراء " سلع من مكان لبيع الاشياء المستعملة المعلقة على الحائط , و صرف اكبر كمية ممكنة من الاموال .عمل الاطفال فى ازواج لفترة قصيرة قبل ان تجمعهم مسز تات لمشاركة افكارهم سويا . على مر الاسبوعين الماضيين تضمن مكان بيع الاشياء المستعملة يوميا مسألة رياضية للاطفال ناتجة عن تجاربهم السابقة مع حل المسائل مع الحساب و الاموال .جانا تكلمت عن نفسها و عن شريكها " لقد التقطنا برواز الصور بثمن 38 سنتا و الصورة تساوى 15 سنت و يبقى معنا 7 سنتات " عندما سئلت كيف عرفت ان الباقى لديهما 7 سنتات , قالت جانا " لقد فكرنا بخريطة ال 100 ,بدأنا ب38 و نزلنا الى 48 , و عددنا خمس اخرين . لذلك فقد دفعنا 53 سنتا , و هذا يجعل الباقى 7 سنتات لاننا كان معنا 60 سنت لصرفهـم هذة الحلقة تشرح كيف ان خريطة المائة تساعد جانا للمضى فيما فوق حسابات الورق و القلم . خلال التعليمات السابقة عن طريق المساعدة الرسومات , لقد شجعت جانا لتحرك اصبعها على الخريطة فيما بعد . فاصبحت قادرة على روئية عملية العد بمجرد التفكير فى خريطة المائة . فى هذة الحالة كانت الخريطة اداة تعويضية مناسبة ساعدت جانا على حساب حاصل جمع رقمين فى عقـلهـا الحالـة الثانية ,تركز على تيريل , و هو تلميذ يعانى من عدم القدرة على التعلم ,مسجل بفصل المرحلة الخامسة العام , لقد اظهر مقدرة ضعيفة على الفهم التجريدى و لدية مشكلة فى الادراك بالرؤية ولكن يحتفظ بالمعلومات بمجرد ادخالها فى عقله.الحلقـة التاليـة تشرح كيف ان صعوبات التعلم التى يواجهها تيريل لا تتحمل انماط الحواجز اليدوية و استغل فهمه للدوران السريع لفهم قياسات الزاوية بطريقة مفهومة لقد شرح ما قاله دوان لمجموعته كيف أن " دورة الـ 360 " السريعة تسير فى الطريق كله. هاهنا ثلاثة من هؤلاء اشباه المنحرف تسير فى الطريق كله. لذلك قسمنا 360 على 3 وحصلنا على 120 للزاوية الكبيرة. عندما كان يشاهد المجموعات تعمل لم يكن المدرس أ/ آدم متأكدا من فهم تيريل لشرح دوران لدورة الـ 360 درجة , لذلك فقد سعد لسماع تيريل يعيد صياغة شرح دوران ولاحقا تطوعه لعرض حل مسألة المجموعة. ان توقعات أ/ آدم بأن جميع اعضاء الجماعة سيتمكنون من تقديم حل المجموعة مهدت الخطوة لتيريل لتحليل استراتيجية حله الى كلمات داخل مجموعة العمـل مثـل هذه التوقعات التى اشتملت على فرص للأطفال الذين يعانون من عدم قدره على التعلم لتفسير تفكيرهم أظهرت للمساعدة على التعلم هذا الاصدار Montague و الاحتفاظ - أنظر المجموعات الأخرى فى الفصل وجدت طرق عديدة لاظهار أن الزاوية المنفرجة لنمط الحاجز كانت 120 درجة. المهمة المبدئية تحدت كل مجموعة من أربعة تلاميذ لتحديد قياسات كل زاوية من نمط الحواجز. كجزء من الناقشة المعروضة, تم عمل خريطة ملخصة لتنظيم نتائج الفصل. هذه التوضيحات للحالة أوضحت كيف أن تلميذين لديهم عدم قدرة على التعلم كانا ناجحين فى برامج الرياضيات التى أكدت على المنهج العريض المتوازن عندما تتفق التعليمات مع عقيدة مثل هذا المنهج وعندما يتم تقدير النظريات المختلفة , يصبح من المستحيل على الأطفال الوصول الى النجاح Bulgren & Montague, 1989; Cawley, Fitzmaurice-Hayes, & Shaw, 1988; Ginsburg من خلال حدود معينة أقحام التلاميذ فى مهمات غنية و هادفة لحل المسائل ، المجلس القومى للابحاث 1990 الحاجة الى تعليمات مناسبة NCTM, 1989-1991 أكدت التوصيـات فى الاونة الاخيرة مثلا مأخوذة من المسائل . الفرضية المركزية لهذة التوصيات هى ان يصبح جميع التلاميذ واثقين " فاعلين " من الرياضيات , و تبعيا يصبحون معالجى مسائل قادرين و و اسعى الحيلة . و هذا يتطلب ان يكون لدى جميع التلاميذ الفرصة لاكتشاف انواع مختلفة من المسائل االرياضية التى تشجعهم على استخدام العديد من الاستراتيجيات فى حلها بـالرغــم من ان حل المسائل اصبح عادة مجال صعب لكثير من التلاميذ الذين يعانون من عدم قدرة على التعلم قدما تقريرا عن ان هؤلاء التلاميذ Bulgren and Montague (1989) الا أن Montague & Bos, 1986; Wansart, 1990; ينجحون بما يفوق التوقعات الحالية اذا تعرضوا لمسائل هادفة ، مناسبة، متطورة و مكملة بتعديلات تعليمية مناسبة . بالاضافة الى ان الاطفال الذين يعانون من صعوبات مع الحسابات العادية او الحقائق الاساسية الأستدعائية لا يجب منعهم من اقحام انفسهم فى مهام لحل المسائل اكثر تحديا هذا المسلسل Cawley & Miller, 1989; Ginsburg و فى الحقيقة , ان هيكل البحث الاكثر اهمية يحدد تأثير استخدام حل المسائل كوسيلة لتعلم الرياضيات متضمنة حقائق اساسية و حسابات عندما تكون مهام حل المسائل معقدة و غنية و اسئلة حرة مفتوحة بشكل كاف يمكن اكتشافها (Carpenter & Moser, 1984 ,فمثلا ) الذى وصف المسألة الغنية بالصعوبات بثلاثة طرق Stenmark (1991) على مستويات مختلفة من الفهم .و على سبيل المثال ا) المسألة التى تؤدى الى مسائل اخرى ,( ب ) المسألة التى تنشىْ اسئلة اخرى ,( ج) للمسألة عدة نظريات للحل و بمكن ان نضيف تصنبف أخر و هو ان المسألة تخلق اتصالات متعددة شرح حالة مثـال واحد للمسائل المعقدة الغنية , الذى تم تقديمة لفصل مستقل من تسعة نلاميذ مصنفين على انهم يعانون بشدة من عدم القدرة على التعلم , هو مسألة المثلث - المستطيل التالية : هل كل مثلث نصف مستطيل ؟ نعم ام لا ؟ اثبت ذلــك الاقتبـاس التالى من دفتر المدرس يقدم نظرة داخلية لطبيعة المسألة و التفكير و التقديم المادى التى استخدمة التلاميذ لحل المسألة والصقوهما على المثلثات التى على الورقة البيضاء TWS ثلاثة اولاد يعملون مع بعضهم البعض قطعوا المثلثات الملونة من الورقة المثلثة وكونوا متوازى الاضلاع. كانت " مقدمتهم المنطقية " ان لا يوجد مثلثان متساويان لا يكونا مستطيلا ص 54 , و مجموعة ثانية من ولدين اعطا لنفسهما Stone, 1993 الاشكال المكونة ليست مستطيلات لأنها لا تكون زوايا قائمة الحق لقطع المثلثات على الارتفاع و لصق المثلثان الملونان واحد على الوجة الاخر للمثلث الابيض . لقد وجدا صعوبة صغيرة فى رقم 3 المثلث ذو الزاوية المنفرجة . قطعوا قطعة على مستوى خط فى النهاية . و بعد لصقهما للقطعتين على المثلث الموجود تبقى لديهما قطعة صغيرة ماصقة على اليسار و ثقب صغير فى اليمين . لقد تساءلوا اذا كان مسموحا لهم بقطع القطعة و تحريكها . و انتهوا ص 65 - Stone, 1993 ( الى مستطيل كامل قاعدتة 4 و ارتفاعة 3 ( شىء مبدع جدا احدى الفتيات كانت تعمل بمفردها بسبب الغياب و قد قطعت ايضا المثلثات المقطوعة . لقد عملت باستقلالية تامة ,كان تخمينها الأول ان كل المثلثات ما عدا رقم 3يمكنهم تكوين مستطيلا و كانت فاخورة جدا بنفسها عندما اكتشفت اخيرا كيف يمكنها ان تجعل حل رقم 3 كما حله ص 54 ,خلال سياق مسألة كهذة , يستطيع التلاميذ الذين يعانون من عدم القدرة على التعلم تحديد Stone 1993, الأولاد الآخرون Borasi, in press - نقاط قوتهم المختلفة عندما يحلون المسائل باستخدام معطيات مختلفة و يحققون النجاح خلال حدودهم المعنية هذا النوع من الاكتشافات يوضح الحاجة الاكبر لأثارة روح التحدى عند التلاميذ للتفكيرفى توقعات غير عادية.وتبعا للسمات و النقاط التى فأن مسألة الثلث - المستطيل تحسب ضمن المسائل الغنية لاتها - Stenmark 1991 - وضعها ا ) خلقت مسائل ممتدة , (ب) اخرجت اسئلة عن الشكل ,المعتاد, ( ج ) خلقت حلولا مختلفة عن طريق اعادة تعريف معطيات المسألة ,( د ) ارست الخطوة لاكتشاف ارتباطات و اتصالات اخرى و ارتباطا بالمسائل الممتدة , فأن مجموعة الاطفال المذكورة سابقا فى السيناريو الأول قررت بطريقة صحيحة ان ليس كل مثلث نصف مستطيل و لكن نصف متوازى الأضلاع. وهذا أوجد مشكلة أخري التى سوف نتابعها فى درس لاحق " هل كل مثلث نصف متوازى الاضلاع ؟ المجموعة الثانية من ثلاثة اولاد اعادت تعريف المشكلة بطريقتهم و تحققت من مسألة ممتدة " هل يمكن تكوين مستطيل عن طريق التغير المادى لمثلثين متطابقين ؟ لقد اوجدت المسألة اسئلة عن الخصائص المعرفة لهذة الاشكال - مثلا , متى يكون متوازى الاضلاع مستطيلا ؟ لقد قدمت المسألة ايضا فرصة للمدرس لمتابعة التعريف بين الاشكال المتطابقة و الاشكال التى لديها نفس المساحة . و بسبب التفسير و الفهم المختلف اظهرت المشكلة حلين مختلفين و لكن صحيحين . فى حالة اعتبار ان شكل المثلث لا يمكن تغييرة , استتنتج الاطفال ان لم يكن ممكنا لكل مثلث ان يكون نصف مستطيل . و فى الحالة الاخرى اوجد الاطفال افتراض مختلف وهو ان شكل المثلث ممكن ان يتغير طالما المساحة كما هى . فى هذة الحالة فمن الممكن تصميم مثلث مساحتة ضعف المثلث المعطى بالنسبة للاتصالات , مسألة المثلث - المستطيل ارست الخطوة للمدرس لينشئ الوصلة بين مساحات المثلثات و مساحات المستطيلات . الصلة الطبيعية بين رؤية قياسات الطول و العرض للمستطيل و القاعدة المتطابقة - قياسات ارتفاع المثلث قد تكون محددة فى هذة التعليمات . كذلك يمكن عمل اتصال بين مساحات المثلث و المستطيل , و متوازى الاضلاع عندما يمنح الاطفال فرصة قائمة للعمل فى مسألة غنية كهذة الحالة , بمكن ان تكون النتائج مثيرة للغاية . هذا النجاح متوافق مع البحث الذى يذكر حقيقتة ان التلاميذ الذين لديهم العديد من الفرص لحل المسائل الرياضية اصبحوا افضل فى حل المسائل (e.g., Carpenter et al., 1989; National Council of Teachers of Mathematics, 1989; Silver, 1985) التكيف مع الطرق المختلفة التـى يتعلم بهـا الأطفال ينظر إلى الرياضيات الآن على إنها " تجربة حسية " تحتوى على مفاهيم و علاقات رقمية و منطقية ضخمة جدا. و بما ان الحس يعتبر ميزة , فالتلاميذ الذين يعانون من عدم القدرة على التعلم دائما ما يحتاجون وقت معقول لفهم مواقف المسألة و لإنشاء استراتيجيات للحل كذلك اذا اظهر التلاميذ مستوى أعلى من التفكير الرياضى و طبيعة إيجابية تجاه الرياضيات , فهم يحتاجون فرص مستمرة لاكتشاف المهام مثلا , ممكن تكوين المجموعات المتعلمة على أساس strengths (Speer & Brahier, 1994) الرياضية بطرق تتوافق مع قوتهم التعليمية أساليب تعليم تكميلية ,بهذه النظرية يمكن لتلميذ يتوفر له نقاط قوى مختلفة ان يجدوا مطلبهم ويحققوا النجاح خلال حدودهم المعنية (Borasi, in press) توضـيح الحـالة دان و عمره تسع سنوات استقبل تعليمات رياضية فى غرفة مخصصة لذوى Behrend, 1994 الحالة التى نركز عليها هى حلقة دان لقياس معدل ذكاء الأطفال , كان مستواه فى أسئلة الذكاء متوسط Wechsler عدم القدرة على التعلم وطبقا لمقياس بالرغم من مواجهته صعوبة فى معالجة الاجزاء المتعددة فى المعلومات .و فى وقت هذه الدراسة كان يخضع للعلاج للسيطرة على اضطرابه لنقص التركيز .كان دان اكثر التلاميذ عدم توافقا بالنسبة للأداء الرياضى و عدم توافقه ظهر بوضوح فى مسائل الحسابات الروتينية و التى حاول فيها ان يطبق القواعد التى تعلمها بطرق غير هادفة , مثلا, عندما سئل اى الطريقتين قد تكون افضل لإيجاد المجموع ,اختار دان المثال الذى يوجد فى اليسار ,لانة توافق مع تفسيره لقاعدة المدرس للجمع . " الآحاد أولا " صــ74 . اعتقد دان ان 78 هو الإجابة المنطقية لان" 4" كانت فى المكان المفترض ان تكون به .... لانه المكان الطبيعي لوضع اول رقم من العدد" صـ75 ". و لكن عندما واجه دان بمسألة غير روتينية و سمح له بالليونة فى حلها بطريقتين أوضح تفكير مفاجئ,كما هو موضح لحله فى المسألة الآتية تسعة عشر طفلا استقلوا الحافلة للذهاب لحديقة الحيوان ,يوجد بالحافلة 7 مقاعد ,كم من الأطفال سيضطرون للجلوس 3 على المقعد ؟ و كم يمكنهم الجلوس 2 على المقعد ؟ رسم دان بسرعة 7 أسطر تمثل المقاعد و رسم دائرة لكل مقعد , و كرر العملية حتى حسب 19 دائرة هذا النوع من التشكيل و استراتيجية العد تمثل تفكير دان فى مواقف المسألة التى لم يمكن متاح لها إجراءات معروفة .و لم يكن قادرا على حل مثل هذة المسائل الغير روتينية ,و لكن ذكر بهرند ايضا انه كان قادرا على حل المسائل التى تتضمن معلومات خارجية بشكل سليم ,فى الحقيقة عندما تكيف المدرس مع أسلوب دان المميز للتعليم , نجح دان ,و عندما شعر دان انة مجبر على استخدام نظرية المدرس التعلمية المسلسلة فشل دان فشل تام .وجد ان صلابة و عدم مرونة الإجراءات التى لا معنى لها منعت مقدرة دان على إدراك معقولية الإجابة او محاولاته فى استراتيجيات بديلة و كيفما توضح هذه الحالة ان التكيف مع الطرق المختلفة التى يتعلم بها الأطفال لا تتطلب دائما استراتيجيات عملية فوق العادة من قبل المدرس و لكن احيانا يضطر فيها الى الرجوع للخلف ليشاهد و يستمع الى أنماط تفكير الأطفال حتى يستطيع او تستطيع الاستجابة الى نقاط فى دراستها 1994 ان التلاميذ الغير قادرون على التعلم انشئوا و استخدموا Behrend, القوى لدى الأطفال ,و تقويتها . وجدت استراتيجياتهم الخاصة لحل مجموعة كبيرة من المسائل و قد استنتجت ان التعليمات يجب ان تبنى على فهم الأطفال الحالى و تسمح بتنمية استراتيجيات متزايدة و اكثر كفاءة بدلا من التأثير على قواعد و إجراءات محددة و لإيجاد تلميحات للتعليمات ,أخرجت بهرند رسالة قوية للمدرسين لمختلف المتعلمين : نموذج التعليمات تتضمن طرح مسائل , السماح للتلاميذ بوقت لحل المسائل بطريقتهم ,الاستماع لاستراتيجيات التلاميذ , المساعدة عند الحاجة فقط ,و مناقشة الاختلافات و الإستراتيجيات التى من شأنها تقديم مميزات عديدة اكثر من أشكال التعليمات الأخرى استطاع المدرسون ان يجعلوا المساعدة جزء متكامل من التعليمات ,منح التلاميذ تحكم اكبر فى تعلمهم , و النظر للرياضيات على انها عملية حسية للعلاقات بين الأرقام . أصبحت التعليمات اقل اعتمادا على اتباع التوجيهات او تقليد ما هو نموزجى , و أصبحت ايضا طريقة مع من هو معروف فعلا - ص 109 تشجيع التلاميذ على مناقشة و تبرير استراتيجياتهم و حلولهم للمسائل الكلامية Cobb et al., 1991 لقد اقترح البحث ان الفصول التى يتناقش فيها التلاميذ ,ينقدون ويشرحون وعند الحاجة يبررون تفسيراتهم وحلولهم Scheid's 1990 ذات كفاءة فى الأرتقاء بالتفكير الرياضى .مثل هذه النظريات التى أساسها الاستعلام تكون منسجمة مع مراجعة للبحث فى التعليم الخاص ,الذى أكد أيضا على أهمية تفكير الأطفال فى حلولهم و تبريرها . يمكن للتلاميذ التواصل و تبرير تفكيرهم من خلال كتابات الدفاتر , مشاركة الشركاء او مناقشة الفصل كله , الاعتماد على الموقف و الاحتياجات الفرد ية للتلاميذ , بعد اكتمال مهمة حل المسألة , يمكن للمدرس دعوة التلميذ لمشاركة أفكارهم او المدخلات فى دفاترهم مع شريك او مجموعة صغيرة , و بهذه الطريقة يوجد لدى جميع التلاميذ الفرصة لتوصيل تفكيرهم بطريقة ما سواء شاركوا أفكارهم بمتابعة مع المجموعات الكبرى ام لا عملت على زيادة أنواع الاتصالات الشخصية الضرورية للتلاميذ حتى McTighe & Lyman, 1988 هذه النظرية للتفكير المزدوج Pimm, 1987 يعالجون و يحتفظون داخليا بالأفكار و تعد مناقشات الفصل كله التى يشرح فيها التلاميذ و يبررون حلولهم للمسألة تقدم اجتماعا غنيا يطور فية التلاميذ فهمهم للرياضيات فى Cobb et al., 1991مشاركة أفكارهم ,يمتلك التلاميذ عملية تعليمهم ويتفاوضون فى المعانى بدلا من الاعتماد فقط على سلطة المدرس كذلك ذكروا التغيرات الإيجابية فى طبيعة التلاميذ و تحقيقهم للذات عندما كان متوقعا ان يستمعوا Lo, Wheatley, & Smith 1991 لبعضهم البعض و ان يحترموا أفكار بعضهم . يكتسب التلاميذ ذوى الاحتياجات التعليمية المختلفة الثقة من زملائهم عن طريق نقل ما تعلموا من المشاركة التعاونية فى العمل الجماعى او مدخلات الدفاتر الى كل الفصل . تقدم الندوات الأخبارية أيضا فرص للتلاميذ الأقل توضيحا ليتعلموا من زملائهم الذين يعملون كنماذج مهمة لمستوى أعلى من التفكير ,التعرض المتكرر لهذه التجارب زاد إمكانية تفكير التلاميذ الذين Scheid, 1990 يعانون من عدم القدرة على التعلم عند مستويات أعلى باستقلالية إيضاح حالـة عن فصل من تسعة أطفال لديهم عجز شديد عن التعلم , و ذكروا كيف ان هؤلاءBorasi, Kort, Leonard & Stone ,1993 تكلم التلاميذ يكتبون باستمرار للآخرين ليشرحوا لهم ما عملوه ,بعدها يعملون فى أزواج ليشاركوا فى الحقيقة ان الطفلين الذان لديهما نقص فى التركيز و اضطراب فى النشاط الزائد دائما ما يدعون لمشاركة تفكيرهم بينما هم يسيرون فى الساحة حتى يتخلصون من الطاقة الزائدة - صـ 143 طلب من التلاميذ كتابة مدخلا من الدفتر يصف عملياتهم لإيجاد عدد البلاطات المطلوبة لتغطية Borasi et al. 1993, وفى مثال اخر من أرضية الفصل .أحد التلاميذ و يدعى تود لدية عجز حركى شديد فى الكتابة و كذلك عجز رقمى .لقد ساعدته بوارسى و هى مشاهدة مشاركة فى الفصل , أولا لتعيد الإنشاء بعد ذلك تدوين حله فى الدفتر . و متحفزا بأسئلة المدرسة , شرح تود كيف حل مسألة تغطية الأرضية . و لفد رفض عرضها بالكتابة له , مفضلا ان يكتب بنفسه ,لقد شرح كل خطوة بنفسه من عملية الحل بصوت عال قبل ان يكتبها ,و اكتملت عملية الإدخال فى الدفاتر على مدار يومين من المساندة و طرح الأسئلة من قبل بوارسى , وفى النهاية اخرج تود مدخلا منظم و مفهوم , و الذى نقلته بوارسى بعد ذلك على الحاسب الآلي لمشاركته مع التلاميذ الآخرين . و بالتفكير فى تجربة تود ,علق الباحث على ان هذا العمل الذى يعتمد فيه عمل الفرد على الآخرين . و هو العمل الذى يبدو مهما و منتجا فعلا مع التلميذ الذي يعانى من عجز شديد عن الكتابة مثل تود , ماذا يمكن ان يفعل ,و ان تقدم نموذجا للمستقبل ,لا نتوقع منة الآن ان يستطيع ان يكتب كتابات مماثلة بنفسه و لكن ربما يمكنة عملها فى مرة Borasi et al., 1993, p. 152ثانية قريبة بمساعدة اقل و تدريجيا يتعلم القيام بنفس الشيء بدون مساندة الراشدون التعليقات الاستنتاجيـة توافقا مع التوصيات اللاحقة للمجلس القومى لمدرسى الرياضيات , قدمت هذه المقالة و أوضحت أربعة أفكار واعدة للتفكير الرياضى التى ظهرت من دراسات رياضية لاحقة يتضمن تلاميذ يعانون من عجز عن التعلم .هذه الأفكار ا) تقديم منهج رياضيات عريض و متزن ) ب) إدخال التلاميذ فى مهام غنية و هادفة لحل المسائل ) ج) التكيف مع الطرق المختلفة التى يتعلم بها التلاميذ ) د) تشجيع التلاميذ على مناقشة و تبرير الاستراتيجيات و الحلول التى يستخدمونها فى حل المسائل ) كما تقدم هذه الأفكار مقترحات لأعادة التفكير فى تدريس و تعليم الرياضيات للتلاميذ الغير قادرون على التعلم .بيانات الحالة التى تمثل هذه الأفكار، تقدم رؤية لما يمكن ان يحدث عندما يعتني المدرسون بالتفكير الرياضى و يقدمون الوقت و الفرصة للتلاميذ للدخول و مشاركة حلولهم للمسائل الغنية الهادفة . يستحق التلاميذ ذوى العجز المعرفى و المعالجى - اتاحة الفرصه لهم حتى يتقدموا رياضيا . و فى مجال العجز التعليمى , عدد قليل نسبيا من التلاميذ يعكسون الأفكار التعليمية المعرفة فى هذه المقالة، و قد حددت هذه المقالة أربعة دراسات و التى توضح الارتباط الناجح للتلاميذ ذوى العجز عن التعلم فى حل المسائل الكلامية , و المستوى الأعلى من التفكير و توافقا مع نتائج هذه الدراسات , نحن نوصى بنظرية عريضة للمنهج و بأستخدام التعليمات التى تتكيف و تستغل الاختلافات العديدة فى التفكير و التعلم و بالرغم من الحاجة الى بحث آخر إلا ان الدراسات المحددة فى هذه المقالة اقترحت ان القدرات الرياضية لدى التلاميذ الذين يعانون من عجز على التعلم يمكن أن يعتادوا عليها و تستغل عندما يحصل هؤلاء التلاميذ على فرص كثيرة للتعلم من خلال برامج عريضة , متزنة و باعثة على التحدى حقيقة ان التلاميذ يحتاجون تقنيات تعويضية مناسبة بغض النظر عن فكرتنا فى هذه البرامج التى تركز على المواضيع المطروحة فى هذه المقالة يمكن ان تزيد من تفكير هؤلاء التلاميذ الرياضى الى مستويات كانت تعد سابقا متجاوزة لحدودهم اذا لم تسمح Woody Allen, 1992 --لفهمك ان يتعدى ما تستطيع الوصول إليه فلن تستطيع أبدا ان تزيد ما يمكنك الوصول إليه
المراجع Baroody, A. J., & Hume, J. (1991). Meaningful mathematics instruction: The case of fractions. Remedial and Special Education, 12(3) 54-68. Behrend, J. L. (1994). Mathematical problem-solving processes of primary-grade students identified as learning disabled. Unpublished doctoral dissertation, University of Wisconsin, Madison. N. S., & Thornton, C. A. (1994). Teaching mathematics to students with learning disabilities. Austin, TX: PRO-ED. Borasi, R. (1996). The realities, challenges and promise of teaching mathematics to all students. In D. Schifter (Ed.), Voicing the new pedagogy: Classroom narratives and the construction of meaning for the rhetoric of mathematics education reform (Vol. 1). New York: Teachers College Press. Borasi, R., Kort, E., Leonard, P., & Stone, G. (1993). Report of an implementation of a remodeling unit in a class of learning disabled students. In R. Borasi & C. F. Smith (Eds.), Remodeling: Experiencing mathematics within a real-life context--Detailed reports of three classroom implementations (pp. 138-166) (Interim Report, Supporting Middle School Learning Disabled Students in the Mainstream Mathematics Classroom, Project No. TPE-9153812). Arlington, VA: National Science Foundation. Borasi, R., Packman, D., & Woodward, A. (1991). Supporting middle school learning disabled students in the mainstream mathematics classroom (Project No. TPE-9153812). Arlington, VA: National Science Foundation. Bulgren, J., & Montague, M. (1989, June). Report from working group four. Paper presented at the Information Center for Special Education Media and Materials Instructional Methods Forum, Washington, DC. Carpenter, T. P., Fennema, E., Peterson, P. L., Chiang, C.P., & Loef, M. (1989). Using knowledge of children's mathematics thinking in classroom teaching: An experimental study. American Education Research Journal, 26, 499-532. Carpenter, T. P., & Moser, J. M. (1984). The acquisition of addition and subtraction concepts in grades one through three. Journal for Research in Mathematics Education, 15, 179-202. Cawley, J., Fitzmaurice-Hayes, A., & Shaw, R. (1988). Mathematics for the mildly handicapped--A guide to curriculum and instruction. Boston: Allyn & Bacon. Cawley, J., & Miller, J. (1989). Cross-sectional comparisons of the mathematical performance of children with learning disabilities: Are we on the right track toward comprehensive programming? Journal of Learning Disabilities, 22, 250-254. Cobb, P., & Bauersfeld, H. (1995). The emergence of mathematical meaning: Interaction in classroom cultures. Hillsdale, NJ: Erlbaum. Cobb, P., Wood, T., Yackel, E., Nicholls, J., Wheatley, G., Trigatti, B., & Perlwitz, M. (1991). Assessment of a problem-centered second-grade mathematics project. Journal for Research in Mathematics Education, 22(1), 3-29. Englert, C. S., Tarrant, K. L., & Mariage, T. V. (1992). Defining and redefining instructional practice in special education: Perspectives on good teaching. Teacher Education and Special Education, 15(2), 62-86. E., & Carpenter, T. P. (1985). Cognitively guided instruction: A program implementation guide. Madison: Wisconsin Center for Education Research. Grouws, D. A. (Ed.). (1992). Handbook of research on mathematics teaching and learning. New York: Macmillan. Heshusius, L. (1991). Curriculum-based assessment and direct instruction: Critical reflections on fundamental assumptions. Exceptional Children, 57, 315-328. Jones, G. A., Thornton, C. A., Putt, I. J., Hill, K. M., Mogill, A. T., Rich, B. S., & van Zoest, L. R. (1996). Multidigit number sense: A framework for instruction and assessment. Journal for Research in Mathematics Education, 27, 310-336. Langrall, C. W., Thornton, C. A., Jones, G. A., & Malone, J. A. (1996). Enhanced pedagogical knowledge and reflective analysis in elementary mathematics teacher education. Journal of Teacher Education, 47, 271-282. Lo, J.-J., Wheatley, G. H., & Smith, A. D. (1991, April). Learning to talk mathematics. Paper presented at the annual meeting of the American Education Research Association, Chicago. Marshall, H. H. (1988). Work or learning: Implications of classroom metaphors. Educational Researcher, 17, 9-16. Mastropieri, M. A., Scruggs, T. E., & Shiah, S. (1991). Mathematics instruction for learning disabled students: A review of research. Learning Disabilities Research & Practice, 6, 89-98. McTighe, J., & Lyman, F. T., Jr. (1988). Cueing thinking in the classroom: The promise of theory-embedded tools. Educational Leadership, 45(7), 18-24. Montague, M., & Bos, C. (1986). Verbal mathematical problem solving and learning disabilities: A review. Focus on Learning Problems in Mathematics, 8, 7-21. National Council of Teachers of Mathematics. (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: Author. National Council of Teachers of Mathematics. (1991). Professional standards for teaching mathematics. Reston, VA: Author. National Council of Teachers of Mathematics. (1995). Assessment standards for school mathematics. Reston, VA: Author. National Research Council. (1990). Reshaping school mathematics. Washington, DC: National Academy Press. Noddings, N. (1990). Constructivism in mathematics education. In R. B. Davis, C. A. Maher, & N. Noddings (Eds.), Constructivist views on the teaching and learning of mathematics [Monograph]. Journal for Research in Mathematics Education, 4, 7-18. Pimm, D. (1987). Speaking mathematically: Communication in mathematics classrooms. New York: Routledge & Kegan Paul. Resnick, L. B. (1987). Education and learning to think. Washington, DC: National Academy Press. Resnick, L. B. (1989). Developing mathematical knowledge. American Psychologist, 44, 162-169. Scheid, K. (1990). Cognitive-based methods for teaching mathematics to students with learning problems. Columbus, OH: Information Center for Special Education Media and Materials. Silver, E. G. (Ed.). (1985). Teaching and learning mathematical problem solving: Multiple research perspectives. Hillsdale, NJ: Erlbaum. Speer, W. R., & Brahier, D. J. (1994). Rethinking the teaching and learning of mathematics. In C. A. Thornton & N. S. Bley (Eds.), Windows of opportunity: Mathematics for students with special needs (pp. 41-59). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Stenmark, J. (1991). Mathematics assessment: Myths, models and practical suggestions. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Stone, G. (1993). Report of an implementation of an area unit in a class of learning disabled students. In R. Borasi (Ed.), Developing area formulas: An opportunity for inquiry within the traditional math curriculum--Detailed reports of three classroom implementations (pp. 42-87) (Interim Report, Supporting Middle School Learning Disabled Students in the Mainstream Mathematics Classroom, Project No. TPE-9153812). Arlington, VA: National Science Foundation. Thornton, C. A., & Bley, N. S. (1994). Windows of opportunity: Mathematics for students with special needs. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Trafton, P. R., & Claus, A. S. (1994). A changing curriculum for a changing age. In C. A. Thornton & N. S. Bley (Eds.), Windows of opportunity: Mathematics for students with special needs (pp. 19-39). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Wansart, W. (1990). Learning to solve a problem: A microanalysis of the solution strategies of children with learning disabilities. Journal of Learning Disabilities, 23, 164-170. المؤلف Carol A. Yhornton , Cynthia W. Langrall , and Graham A.Jones من اساتذة الجامعة المميزين فى قسم الرياضيات فى جامعة ولاية الينوز، و قد قدمت بحث طويل عن تعليم Carol A. Thornton الاطفال الرياضيات من خلال سياق الفصل ولها اهتمامات عديدة بالمنهج و تطوير المعلمين سواء فى التعليم العام او الخاص، كما انها ساعدت كمؤلف مساعد فى وضع بحث تدريس الرياضيات للطلبة الذين يعانون من عدم القدرة على التعلم كما انها شاركت فى تحرير كتاب خاص عن التعليم للمجلس القومى لمعلمى الرياضيات وهى استاذ مساعد فى قسم الرياضيات فى جامعة ولاية الينوز و ابحاثها تركز على تعليم Gynthia W. Langrall, Phd الرياضيات فى المدارس الأبتدائية و الأعدادية مع التركيز الممارسة للتكيف مع أختلافات التلاميذ هو أستاذ زائر فى قسم الرياضيات فى جامعة ولاية الينوز و يهتم بالتفكير الرياضى للاطفال حول الأرقام Grahm A. Jones , PhD والأحتمالات وحل المسائل ، كما قدم وراجع بحث عن تعليم المدرسين وتطوير اسلوبهم الشىء الذى لا بد وأن يؤثر على التعليم الخاص والعام
